ВВЕДЕНИЕ

О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, Бог изобретатель.

А.С. Пушкин

"Vita brevis, ars vero longa, occasio autem praeceps,
experientia fallax, judicium difficile" 

Hippocrates

Жизнь коротка, путь искусства (= науки) долог,
удобный случай скоропреходящ, опыт обманчив,
суждение трудно. 

Гиппократ

Естественнонаучная и гуманитарная культуры.  Красота.

Что есть культура? Ветви культуры: естественнонаучная, гуманитарная, религия.

Понятие и примеры красоты в различных областях культуры. Ученые спорят, похожа ли математическая красота на художественную, и можно ли найти отдел человеческого мозга, отвечающий за ее восприятие?

Красота в гуманитарной культуре

Живопись, Скульптура.

Знаменитые картины художника Сандро Боттичелли «Рождение Венеры» и «Весна» написаны по заказу Лоренцо ди Пьерфранческо Медичи и были предназначены для украшения в виллы Кастелло.

Моделью картин была Симонетта Веспуччи (итал. Simonetta Vespucci, лат. Vespuccia, Vesputia, урожд. Каттанео, итал. Cattaneo, 28 января (?) 1453, Портовенере или Генуя – 26 апреля 1476, Флоренция) – возлюбленная Джулиано Медичи, младшего брата флорентийского правителя Лоренцо Медичи. Считалась первой красавицей флорентийского Ренессанса, за свою красоту получила прозвище Несравненной (Бесподобной; фр. La Sans Pareille) и Прекрасной Симонетты (итал. La Bella Simonetta). 

Высокое Возрождение.

Всего на фреске представлено свыше 50 фигур (многие из них не поддаются аттрибутации, насчет некоторых нет единой точки зрения):

11. с бородой, в коричневой тоге – Спевсипп, философ, племянник Платона; 

12. в синей тоге – Менексен, философ, ученик Сократа;

13. в белой тоге – Ксенократ, философ, ученик Платона; 

14. в темном головном уборе, низенький – Ксенофонт, философ, ученик Сократа; 

15. с вытянутой рукой – Есхин, философ, ученик Сократа; 

16. в розовом – Критий, философ, оратор, писатель, дядя Платона; 

17. с обнаженным торсом – Диагор Мелосский, поэт по прозвищу «Безбожник»; 

18. рядом с Амуром – философ Зенон, ученик Парменида; 

19. за Зеноном – Навсифан, философ, последователь Демокрита, учитель Эпикура;

20. в венке – философ Демокрит ;

21. мальчик за его спиной – Диоген Лаэртский, историк философии;

22. в белом тюрбане – Аверроэс, арабский философ; 23. лысый, в желтоватом одеянии на первом плане – Анаксимандр, философ, ученик Фалеса,

24. с длинными волосами – Анаксагор, философ, математик и астроном; 

25. стоит и держит книгу – философ Парменид; 

26. с циркулем – Евклид, математик (по другой версии – Архимед);

27. в белой одежде с небесным глобусом – Зороастр, астроном и философ-мистик;

28. спиной к зрителю, с земным шаром – Птолемей, астроном и географ;

29. в белом берете Содома, художник, друг Рафаэля (по другой версии Перуджино, учитель Рафаэля);

30. в темной тоге – философ Аркесилай (по другой версии – Плотин);

31. опершись рукой о стену – философ Пиррон;

32. в голубом и розовом, спускается – Аристипп, философ, друг Сократа;

33. всходит по ступеням – философ Эпикур;

34. с бородой, в желтоватом плаще – Теофраст, философ и ученый, ученик Платона и Аристотеля;

35. вплотную к Теофрасту стоит – Евдем, философ, ученик Аристотеля.

В Станца делла Сеньятура (1509–1511гг) Рафаэль представил четыре области человеческой деятельности: богословие («Диспута»), философию («Афинская школа»), поэзию («Парнас»), юриспруденцию («Мудрость, мера, сила»), а также соответствующие главным композициям аллегорические, библейские и мифологические сцены на плафоне. Единство философий-знаний состоит в разнообразии отдельных школ и личных мнений.  Этому не должно препятствовать разобщенность мыслителей в пространстве и времени. Напротив, познание объединяет всех, кто искренне к нему стремится. И не случайно, конечно, в картине присутствуют люди всех возрастов, а на их лицах не только сосредоточенность и задумчивость, но и светлые улыбки. В четырех композициях Рафаэль показал четыре основания, на которых должно покоиться человеческое общество: разум (философия, наука), доброта и любовь (религия), красота (искусство), справедливость (правосудие).

Андрей Рублев. Прямая и обратная перспективы в живописи, как различное понимание пространства.

N.B.О живописи

Музыка

Поэзия

Г.Р.Державин

Река времен в своем стремленьи…

Река времён в своём стремленьи

Уносит все дела людей

И топит в пропасти забвенья

Народы, царства и царей.

А если что и остаётся

Чрез звуки лиры и трубы,

То вечности жерлом пожрётся

И общей не уйдёт судьбы.
1816г

Бог

О Ты, пространством бесконечный,

Живый в движеньи вещества,

Теченьем времени превечный,

Без лиц, в трех лицах Божества,

Дух всюду сущий и единый,

Кому нет места и причины,

Кого никто постичь не мог,

Кто все Собою наполняет,

Объемлет, зиждет, сохраняет,

Кого мы нарицаем — Бог!

Измерить океан глубокий,

Сочесть пески, лучи планет,

Хотя и мог бы ум высокий,

Тебе числа и меры нет!

Не могут Духи просвещенны,

От света Твоего рожденны,

Исследовать судеб Твоих:

Лишь мысль к Тебе взнестись дерзает,

В Твоем величьи исчезает,

Как в вечности прошедший миг.

Хао́са бытность довременну

Из бездн Ты вечности воззвал;

А вечность, прежде век рожденну,

В Себе Самом Ты основал.

Себя Собою составляя,

Собою из Себя сияя,

Ты свет, откуда свет исте́к.

Создавый все единым словом,

В твореньи простираясь новом,

Ты был, Ты есть, Ты будешь ввек.

Ты цепь существ в Себе вмещаешь,

Ее содержишь и живишь;

Конец с началом сопрягаешь

И смертию живот даришь.

Как искры сыплются, стремятся,

Так солнцы от Тебя родятся.

Как в мразный, ясный день зимой

Пылинки инея сверкают,

Вратятся, зыблются, сияют,

Так звезды в безднах под Тобой.

Светил возженных миллионы

В неизмеримости текут;

Твои они творят законы,

Лучи животворящи льют;

Но огненны сии лампады,

Иль рдяных кристалей громады,

Иль волн златых кипящий сонм,

Или горящие эфиры,

Иль вкупе все светящи миры,

Перед Тобой — как нощь пред днём.

Как капля, в море опущенна,

Вся твердь перед Тобой сия;

Но что мной зримая вселенна,

И что перед Тобою я? —

В воздушном океане оном,

Миры умножа миллионом

Стократ других миров, и то,

Когда дерзну сравнить с Тобою,

Лишь будет точкою одною;

А я перед Тобой — ничто.

Ничто! — но Ты во мне сияешь

Величеством Твоих доброт;

Во мне Себя изображаешь,

Как солнце в малой капле вод.

Ничто! — но жизнь я ощущаю,

Несытым некаким летаю

Всегда пареньем в высоты.

Тебя душа моя быть чает,

Вникает, мыслит, рассуждает:

Я есмь — конечно, есь и Ты.

Ты есь! — Природы чин вещает,

Гласит мое мне сердце то,

Меня мой разум уверяет;

Ты есь — и я уж не ничто!

Частица целой я вселенной,

Поставлен, мнится мне, в почтенной

Средине естества я той,

Где кончил тварей Ты телесных,

Где начал Ты Духов небесных

И цепь существ связал всех мной.

Я связь миров, повсюду сущих,

Я крайня степень вещества,

Я средоточие живущих,

Черта начальна Божества.

Я телом в прахе истлеваю,

Умом громам повелеваю;

Я царь, — я раб, — я червь, — я бог! —

Но будучи я столь чудесен,

Отколь я происшел? — Безвестен;

А сам собой я быть не мог.

Твое созданье я, Создатель,

Твоей премудрости я тварь,

Источник жизни, благ Податель,

Душа души моей и Царь!

Твоей то правде нужно было,

Чтоб смертну бездну преходило

Мое бессмертно бытие́;

Чтоб дух мой в смертность облачился

И чтоб чрез смерть я возвратился,

Отец! в бессмертие Твое́.

Неизъяснимый, непостижный!

Я знаю, что души моей

Воображении бессильны

И тени начертать Твоей.

Но если славословить должно,

То слабым смертным невозможно

Тебя ничем иным почтить,

Как им к Тебе лишь возвышаться,

В безмерной разности теряться

И благодарны слезы лить.

1784г

Переведенная на все европейские языки ода «Бог» - одна из вершин Державина, торжество его архаичного, но завораживающего поэтического языка. 

«Я царь, — я раб, — я червь, — я Бог!»

А.С. Пушкин

«Два чувства дивно близки нам….» 

Два чувства дивно близки нам, 

В них обретает сердце пищу:

Любовь к родному пепелищу, 

Любовь к отеческим гробам.

(На них основано от века,

По воле Бога самого,

Самостоянье человека,

Залог величия его.)

Животворящая святыня!

Земля была (б) без них мертва.

Как . . . . . .  пустыня

И как алтарь без божества.

1830 г

Если жизнь тебя обманет,

Не печалься, не сердись!

В день уныния смирись:

День веселья, верь, настанет.

Сердце в будущем живёт;

Настоящее уныло:

Всё мгновенно, всё пройдет;

Что пройдет, то будет мило.

1825 г

Свободы сеятель пустынный...

Изыде сеятель сеяти семена своя

Свободы сеятель пустынный,

Я вышел рано, до звезды;

Рукою чистой и безвинной

В порабощенные бразды

Бросал живительное семя –

Но потерял я только время,

Благие мысли и труды...

Паситесь, мирные народы!

Вас не разбудит чести клич.

К чему стадам дары свободы?

Их должно резать или стричь.

Наследство их из рода в роды

Ярмо с гремушками да бич.
1823г

На холмах Грузии лежит ночная мгла…

На холмах Грузии лежит ночная мгла;

Шумит Арагва предо мною.

Мне грустно и легко; печаль моя светла;

Печаль моя полна тобою,

Тобой, одной тобой… Унынья моего

Ничто не мучит, не тревожит,

И сердце вновь горит и любит — оттого,

Что не любить оно не может.
1829г.

Пророк

Духовной жаждою томим,

В пустыне мрачной я влачился, —

И шестикрылый серафим

На перепутье мне явился.

Перстами легкими как сон

Моих зениц коснулся он.

Отверзлись вещие зеницы,

Как у испуганной орлицы.

Моих ушей коснулся он, —

И их наполнил шум и звон:

И внял я неба содроганье,

И горний ангелов полет,

И гад морских подводный ход,

И дольней лозы прозябанье.

И он к устам моим приник,

И вырвал грешный мой язык,

И празднословный и лукавый,

И жало мудрыя змеи

В уста замершие мои

Вложил десницею кровавой.

И он мне грудь рассек мечом,

И сердце трепетное вынул,

И угль, пылающий огнем,

Во грудь отверстую водвинул.

Как труп в пустыне я лежал,

И бога глас ко мне воззвал:

«Восстань, пророк, и виждь, и внемли,

Исполнись волею моей,

И, обходя моря и земли,

Глаголом жги сердца людей».
1826г

Аудио.И.Смоктуновский

М.Ю.Лермонтов

И.В. Гете в переводе М.Ю. Лермонтова «Горные вершины» 

Горные вершины 

Спят во тьме ночной; 

Тихие долины 

Полны свежей мглой; 

Не пылит дорога, 

Не дрожат листы... 

Подожди немного, 

Отдохнешь и ты.

Примечания 

Печатается по «Стихотворениям» 1840 г., стр. 119–120 (с датой – «1840»). Впервые – «Отеч. записки», 1840, т. XI, № 7, стр. 1. Автограф не найден. Это вольный перевод Гётевского «Ueber allen Gipfeln ist Ruh». А.Н. Струговщиков вспоминает: «В конце ноября 1840 г., когда он, В.А. Соллогуб, заканчивал свою «Аптекаршу», я встретился у него с Лермонтовым и на вопрос его: не перевел ли я «Молитву путника» Гёте? я отвечал, что с первой половиной сладил, а со второй – недостает мне ее певучести и неуловимого ритма. «А я, напротив, мог только вторую половину перевести», сказал Лермонтов и тут же, по просьбе моей, набросал мне на клочке бумаги свои «Горные вершины»« («Русская старина» 1874г. № 4, стр. 712). Говоря о первой и второй половине, Струговщиков имеет в виду, очевидно, два стихотворения Гёте: «Wandrers Nachtlied» («Der du von dem Himmel bist») и «Ein Gleiches» («Ueber allen Gipfeln»). Дата Струговщикова, очевидно, неверна: стихотворение Лермонтова было напечатано в июле 1840 г. Приводим немецкий текст:

Ueber allen Gipfeln 

Ist Ruh, 

In allen Wipfeln 

Spürest du 

Kaum einen Hauch; 

Die Vögelein schweigen im Walde. 

Warte nur, balde 

Ruhest du auch. 

Выхожу один я на дорогу

Выхожу один я на дорогу;

Сквозь туман кремнистый путь блестит;

Ночь тиха. Пустыня внемлет богу,

И звезда с звездою говорит.

В небесах торжественно и чудно!

Спит земля в сияньи голубом…

Что же мне так больно и так трудно?

Жду ль чего? жалею ли о чём?

Уж не жду от жизни ничего я,

И не жаль мне прошлого ничуть;

Я ищу свободы и покоя!

Я б хотел забыться и заснуть!

Но не тем холодным сном могилы…

Я б желал навеки так заснуть,

Чтоб в груди дремали жизни силы,

Чтоб дыша вздымалась тихо грудь;

Чтоб всю ночь, весь день мой слух лелея,

Про любовь мне сладкий голос пел,

Надо мной чтоб вечно зеленея

Тёмный дуб склонялся и шумел.
1841г.

А.А.Блок

Незнакомка

По вечерам над ресторанами

Горячий воздух дик и глух,

И правит окриками пьяными

Весенний и тлетворный дух.

Вдали над пылью переулочной,

Над скукой загородных дач,

Чуть золотится крендель булочной,

И раздается детский плач.

И каждый вечер, за шлагбаумами,

Заламывая котелки,

Среди канав гуляют с дамами

Испытанные остряки.

Над озером скрипят уключины

И раздается женский визг,

А в небе, ко всему приученный

Бессмысленно кривится диск.

И каждый вечер друг единственный

В моем стакане отражен

И влагой терпкой и таинственной,

Как я, смирен и оглушен.

А рядом у соседних столиков

Лакеи сонные торчат,

И пьяницы с глазами кроликов

«In vino veritas!»* кричат.

И каждый вечер, в час назначенный

(Иль это только снится мне?),

Девичий стан, шелками схваченный,

В туманном движется окне.

И медленно, пройдя меж пьяными,

Всегда без спутников, одна

Дыша духами и туманами,

Она садится у окна.

И веют древними поверьями

Ее упругие шелка,

И шляпа с траурными перьями,

И в кольцах узкая рука.

И странной близостью закованный,

Смотрю за темную вуаль,

И вижу берег очарованный

И очарованную даль.

Глухие тайны мне поручены,

Мне чье-то солнце вручено,

И все души моей излучины

Пронзило терпкое вино.

И перья страуса склоненные

В моем качаются мозгу,

И очи синие бездонные

Цветут на дальнем берегу.

В моей душе лежит сокровище,

И ключ поручен только мне!

Ты право, пьяное чудовище!

Я знаю: истина в вине. 

1906г

Россия. 

Опять, как в годы золотые,

Три стертых треплются шлеи,

И вязнут спицы расписные

В расхлябанные колеи…

Россия, нищая Россия,

Мне избы серые твои,

Твои мне песни ветровые, —

Как слезы первые любви!

Тебя жалеть я не умею

И крест свой бережно несу…

Какому хочешь чародею

Отдай разбойную красу!

Пускай заманит и обманет, —

Не пропадешь, не сгинешь ты,

И лишь забота затуманит

Твои прекрасные черты…

Ну что ж? Одной заботой боле —

Одной слезой река шумней

А ты все та же — лес, да поле,

Да плат узорный до бровей…

И невозможное возможно,

Дорога долгая легка,

Когда блеснет в дали дорожной

Мгновенный взор из-под платка,

Когда звенит тоской острожной

Глухая песня ямщика!..

1908г.

Н.А.Заболоцкий

Портрет

Любите живопись, поэты!

Лишь ей, единственной, дано

Души изменчивой приметы

Переносить на полотно.

Ты помнишь, как из тьмы былого,

Едва закутана в атлас,

С портрета Рокотова снова

Смотрела Струйская на нас?

Ее глаза — как два тумана,

Полуулыбка, полуплач,

Ее глаза — как два обмана,

Покрытых мглою неудач.

Соединенье двух загадок,

Полувосторг, полуиспуг,

Безумной нежности припадок,

Предвосхищенье смертных мук.

Когда потемки наступают

И приближается гроза,

Со дна души моей мерцают

Её прекрасные глаза.

1953г.

Признание

Зацелована, околдована,

С ветром в поле когда-то обвенчана,

Вся ты словно в оковы закована,

Драгоценная моя женщина!

Не веселая, не печальная,

Словно с темного неба сошедшая,

Ты и песнь моя обручальная,

И звезда моя сумасшедшая.

Я склонюсь над твоими коленями,

Обниму их с неистовой силою,

И слезами и стихотвореньями

Обожгу тебя, горькую, милую.

Отвори мне лицо полуночное,

Дай войти в эти очи тяжелые,

В эти черные брови восточные,

В эти руки твои полуголые.

Что прибавится — не убавится,

Что не сбудется — позабудется…

Отчего же ты плачешь, красавица?

Или это мне только чудится? 

1957г.

Архитектура

Красота в естественных науках

В 1981 г. Гуго Штейнгауз опубликовал книгу «Математический калейдоскоп», к которому А.Н.Колмогоров написал предисловие. Вот некоторые выдержки из него: «Доказательства математических теорем следуют строгим законам логики. Подобно этому школьник, решив задачу, обязан отчетливо изложить решение и обосновать законность каждого шага решения. Но в случае сколько-нибудь сложной задачи сначала надо придумать решение и лишь потом его обосновать. Подобно этому интересные новые теоремы математики сначала придумывают «по догадке», или, как говорят более учено, по интуиции. Математическая интуиция часто руководствуется представлениями о красоте. Решение хорошо поставленной, естественной задачи обычно оказывается красивым. Конечно, не каждая красиво выглядящая гипотеза оправдывается. Но искать подлинное решение проблемы часто бывает разумным среди предположений, выделяющихся своей красотой. Известный польский математик Гуго Штейнгауз в своей книге «Математический калейдоскоп» стремится увлечь читателя математикой именно этой стороны: красотой математических фактов возможностью их усмотреть интуитивно еще до логического обоснования. Доказательства тоже бывают красивы своей неожиданной простотой. Они, конечно, тоже имеются в книге Штейнгауза, но многие факты сообщаются и без доказательств, чтобы увлечь читателя своей красотой, в то время как само доказательство может оказаться и недоступным читателям из-за недостатка у них знаний. «Математический калейдоскоп» можно читать разными способами. Нет ничего зазорного и в том, чтобы перелистывать его, останавливаясь подробнее на картинках, поражающих своей красотой, либо обращая внимание на простоту формулировок ответов в тех случаях, когда, казалось бы, заданные вопросы простых ответов не обещают. Но, конечно, читатель получит больше пользы и больше удовольствия, если разберется в доказательствах там, где они приведены, и попытается их найти там, где они не даны автором.»

Постараемся привести несколько примеров математической красоты, которые, как нам кажутся, доступны всем. 

1. Геометры Древней Греции достигли многого, но вычислить объем шара им не удавалось. Гениальный Архимед вывел формулу, применяя идею взвешивания! 

2. В книге «Начала» описан способ построения правильных треугольника, квадрата, пятиугольника, пятнадцатиугольника и всех многоугольников, получаемых удваиванием числа сторон (используя лишь математические циркуль и линейку – это инструменты, рисующие идеальные прямые и окружности). Через 1000 лет было доказано, что невозможно построить правильный 7 и 9-угольник (с теми же инструментами). Нечего было думать о построении 11 и 13-угольника. Думали, что о многоугольниках с большим числом сторон нечего и мечтать. Однако 19-летний Гаусс, используя мнимые числа (!) нашел способ построения правильного 17-угольника (чуть позже – всех таких многоугольников). 

3. Возьмите произвольный треугольник; проведите трисектрисы углов (т.е. лучи, делящие углы на три равные части); отметьте точки пересечения трех пар трисектрис, склоняющиеся к сторонам:

а) эти три точки образуют правильный (равносторонний) треугольник (теорема Морли); 

б) доказательство не просто, но французский математик А. Кон нашел очень короткое доказательство, тоже используя мнимые числа; 

в) если внимательно искать, то точки пересечения трисектрис внутренних и внешних углов произвольного треугольника образуют 27 (!) правильных треугольников. Естественно, чем дальше в «математический лес» тем больше таких примеров.

Сумма углов треугольника

Однако само понятие красоты не ограничивается только визуальным аспектом. Бывают красивые стихи, красивые отношения, красивые рассуждения, красивые математические конструкции.

Красота в математике – это тонкая грань между простотой и сложностью, естественностью и необычностью, загадкой и её решением. Красиво то, что позволяет нам увидеть больше, чем мы видели мгновение назад. Красиво то, что нас удивляет.

Видимо, категория красоты впервые возникла в математике в Древней Греции, с появлением геометрии – чем ещё, кроме эстетического наслаждения, можно объяснить желание изучать совершенно абстрактные картинки, составленные из прямых, отрезков и окружностей?

Поставьте себя на место первых геометров: практическая значимость большей части ваших изысканий станет понятной лишь спустя много столетий. А сейчас вы просто чертите на песке треугольники и обнаруживаете удивительную закономерность: какой бы треугольник вы ни построили, сумма его внутренних углов всегда составляет развёрнутый угол (тот, который получается, если стороны угла лежат на одной и той же прямой, но по разные стороны от вершины).

Часть не меньше целого. Множество мощности континуум.

То, что кажется не очевидным и даже невозможным, реализуется. 

Вот вам пример как «Невозможное возможно». Возьмем круглую мишень, на ней бесконечно много точек, так что вероятность попасть в любую из них равна 0. Теперь вот выпустим стрелу, она в какую-то точку да попадет. Напомню, эта точка была не лучше и не хуже всех остальных, с нулевой вероятностью попадания в нее. Вот и свершилось событие, вероятность которого была 0.

Фракталы

Слово «красивый» ассоциируется в первую очередь с чем-то визуально приятным, услаждающим наш взор – типа картины в музее. Такая красота в математике есть: некоторые математические объекты допускают представление в виде изображений, порой 

весьма приятных для глаз. В нашей последующей лекции есть ссылки на завораживающе прекрасный и загадочный фрактал Мандельброта, но мы не удержимся и покажем картинку.

Там можно выделить отдельные области фрактала, приблизиться к отдельным веточкам и делать это до бесконечности. Примечательно тут именно то, что из маленькой математической формулы получается невероятно сложная и навороченная штука, подобные которой мы скорее привыкли видеть в живой природе или в искусстве.

Красивые формулы

Поразительный математик Сринива́са Рамануджа́н Айенго́р не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. 

Воистину, «краткость – сестра таланта», если он есть, конечно, как писал Антон Павлович Чехов (Из письма от 11 апреля 1889 г. А.П. Чехова к своему брату Александру).

Послушайте ровно одну минуту Арнольда, где он цитирует слова Дирака о том, как построить новую физическую теорию, начиная с 5 минуты, Про спин электрона  с 7 минуты.