Блажен, кто посетил сей мир

В его минуты роковые!

Его призвали всеблагие

Как собеседника на пир.

Он их высоких зрелищ зритель,

Он в их совет допущен был –

И заживо, как небожитель,

Из чаши их бессмертье пил!

Ф.И. Тютчев

Лекция 5. Геометрия пространства–времени. Гравитация как следствие геометрии в парадигме  Эйнштейна  

Важнейшим следствием СТО является замена абсолютных пространства и времени на новую физическую сущность – единое пространство-время Г. Минковского (r, t). Однако и это пространство является, по существу, экстраполяцией классического трехмерного пространства на четыре измерения и имеет поэтому пассивный характер, т.е. не оказывает обратного воздействия на физические процессы, протекающие в нем.Характерно, что пространство Г. Минковского евклидово, плоское (имеет нулевую кривизну). И это понятно, т.к. в СТО рассматриваются только инерциальные системы отсчета (движущиеся прямолинейно и равномерно друг относительно друга), на которые не действуют гравитационные силы. Именно поэтому пространство Г. Минковского – определенная физическая абстракция, т.к. от силы гравитации нельзя защититься никаким экраном.

Теперь мы переходим к менее известной истории – созданию А. Эйнштейном общей теории относительности (ОТО). Самым поразительным фактом, с точки зрения теории познания, здесь является, пожалуй, то, что искал А. Эйнштейн одно, а нашел совершенно другое. И если в создании СТО практически одновременно участвовал целый ряд исследователей, то в создании новой теории гравитации приняли участие, в основном двое – Д. Гильберт и А. Эйнштейн.

Для многих исследователей творчества А. Эйнштейна долгое время оставалось загадкой, каким образом он перешел от СТО к ОТО в промежутке между 1905 и 1916 гг. Эта загадка была прояснена А. Кастлером на конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Эйнштейна (Иерусалим, 1979 г.). Была, оказывается, промежуточная стадия, связанная со счастливым случаем. Малоизвестная и труднодоступная до сих пор работа была опубликована на немецком языке в «Ежеквартальном журнале судебной медицины и здравоохранения». Статья отражает поисковую фазу исследования и была посвящена юбилею друга А. Эйнштейна, врача по специальности. В этой «судебно-медицинской» статье А. Эйнштейн анализирует поведение света в гравитационном поле. Использует при этом он все еще (что естественно в 1909 г.) ньютоновскую теорию гравитации. Поскольку ранее, в СТО, он обнаружил, что масса представляет собой новую компоненту энергии (формула (7)), то он полагал, что именно эта энергия связана с гравитацией, т.е. служит как бы гравитационным зарядом. Далее А.Эйнштейн приходит к выводу, что хотя луч света, несущий только импульс и угловой момент, не имеет массы, он тем не менее несет кинетическую энергию. Поэтому он должен падать в гравитационном поле, то есть притягиваться и отклоняться (рис.1-2). (Это только часть результата, который он получит в новой теории гравитации в 1916 г.) Отклонение, – рассуждал он дальше, – предполагает изменение скорости света, которая должна приобрести боковую компоненту, – поэтому свет должен ускоряться в своем движении к источнику гравитации и замедляться после того, как его минует. 

Поскольку для описания гравитационных сил надо отказаться от представления о плоском пространстве Евклида и перейти к какой-то геометрии искривленного пространства, надо чтобы она чем-то определялась. Следовательно, надо отказаться от независимости свойств пространства и времени от распределения масс.

Обобщая эти два соображения, А. Эйнштейн декларирует новую парадигму – гравитационное поле является изменением геометрических свойств пространства-времени, которое, в свою очередь, определяются распределением масс. Причем основные законы природы имеют для двух наблюдателей, движущихся произвольным образом и использующих произвольные непрерывно преобразуемые одна в другую системы координат, одинаковый вид. Или проще, законы природы имеют одно и то же выражение, пригодное для любого наблюдателя. Сформулированный таким образом общий принцип теории относительности содержит в себе в определенном смысле абсолютное знание. Кроме того, необходимо потребовать, чтобы в отсутствие гравитации новая теория переходила в СТО. Это утверждение является частным случаем общего принципа развития науки – принципа соответствия, когда более общая теория включает в себя частную теорию как некоторый предельный случай.

Из приведенных выше трех аксиом-постулатов следует, что геометрия пространства-времени при наличии гравитации должна быть неевклидовой. Тогда из двух вариантов неевклидовой геометрии - гиперболической или эллиптической нужно выбрать один. Для первой геометрии сумма углов треугольника < 180°, для второй > 180° (см. слайды лекции 1). Для первой отношение длины окружности к диаметру > ⫪, для второй < ⫪. Поясним это на простейшем примере эллиптической геометрии Г. Римана.

Рассмотрим поверхность сферы (аналог плоскости в геометрии Евклида) см. рис.1-3. «Прямыми линиями», т.е. кратчайшим расстоянием между двумя точками здесь являются дуги. Линии А и В (они перпендикулярны экватору) пересекаются в полюсе N; таким образом, сумма углов сферического треугольника АВN будет >180°. В плоскости экватора отношение длины окружности к диаметру L/D = ⫪. На сфере, для этой же окружности диаметром (наикратчайшее расстояние между противоположными точками) будет дуга CND, которая, естественно, больше, чем диаметр экваториального круга CD. Таким образом, для сферической геометрии отношение длины окружности к диаметру L/D < ⫪.

Вернемся опять к рис.1-2 и представим, что от звезды идет «трубка» света. Поскольку оба луча света в этой трубке (внешний и внутренний) приходят на Землю одновременно, а путь для внешнего луча длиннее, чем для внутреннего, то становится ясно, что скорость света для внешнего луча больше, чем для внутреннего. Таким образом, А. Эйнштейн пришел к выводу (только, на первый взгляд, противоречащему постулату о «постоянстве» скорости света), что вблизи гравитирующих масс, скорость света меньше, чем вдали от них. Другими словами, там, где пространство искривлено сильнее, там и скорость света меньше. Максимальная же скорость света соответствует, конечно, плоскому пространству с евклидовой геометрией.

Движение масс в пространстве также меняет его геометрию. Можно привести наглядный иллюстративный пример (рис.1-4). Представьте себе, что на столе вы натянули, жестко закрепив на краях, резиновую скатерть и начертили на ней серию взаимно перпендикулярных линий (евклидово пространство). Теперь взяли кошку и засунули ее под скатерть. Там, где кошка, скатерть растянута, и вместо прямых вы видите взаимно пересекающиеся дуги. Если под скатертью окажется еще и мышка, то вы заметите, что растяжение, а значит, и искривление первоначальных прямых в том месте, где кошка – больше (это большая гравитирующая масса), нежели там, где мышка (меньшая масса). Дальнейшее изменение геометрических свойств пространства скатерти в процессе передвижения кошки и мышки представить несложно.

Рис.1- 4. Плоская и криволинейная поверхности: а) ни кошки, ни мышки – евклидова геометрия; б) мышка убежала, осталась только кошка (одна гравитирующая масса) – геометрия неевклидова

К сожалению, не все результаты ОТО можно представить так наглядно. Перечислим наиболее интересные и важные из них.

Мы только что говорили об уменьшении скорости света при искривлении пространства вблизи гравитирующей массы. Представьте теперь, что масса становится столь большой и искривление столь сильным, что скорость света в этой области пространства становится равной нулю (свет, который по определению всегда движется, вдруг перестает двигаться!). Если это возможно, то свет, залетевший в эту область пространства, из нее выйти не может, т.е. эта область пространства ничего не излучает, становится для наблюдателя черной. При этом образуются своеобразные объекты, получившие название черных дыр (black holes). Посмотрим на это с математической точки зрения.

Согласно ОТО, закон тяготения Ньютона должен быть изменен следующим образом:

где G = 6,67 10–11 м3 сек–2 кг–1 – константа гравитационного взаимодействия, впервые введенная И. Ньютоном в «Математических началах натуральной философии» в 1687 г.Формула (8), строго говоря, справедлива лишь для так называемой метрики Шварцшильда. Отметим различие в двух законах тяготения. При стремлении R к нулю FНьют возрастает, но является константой при любом малом R. В отличие от этого FЭйнш становится бесконечно большой при так называемом радиусе Шварцшильда: 

При таком радиусе образуется черная дыра. В области черной дыры пространственно-временной континуум столь искривлен, что не только сигнал или объект, попавший в нее, не может выйти наружу, а время как бы остановлено. Для Земли радиус Шварцшильда 0,4 см, для Солнца 3 км, в то время как их обычные радиусы 6,4∙103 км и 7,7 106 км соответственно.

В 1929 г. Э. Хаббл экспериментально обнаружил существующее в настоящий момент расширение Вселенной. Скорость разлета галактик друг от друга (по Хабблу) пропорциональна расстоянию между ними:

v = HR,                                                        (10)
где H ≈ (3÷5) 10–18 сек–1 – постоянная Хаббла.

Это хаббловское расширение весьма примечательно. Несмотря на то, что Вселенная расширяется, центра расширения нет! Понять это можно на двухмерной модели. Представьте, что вы немного надули обычный воздушный шарик. Затем произвольно фломастером нанесли на его поверхности точки, после чего продолжим шарик надувать. Что мы видим? Поверхность шарика растягивается (аналог расширения пространства), и каждая из помеченных фломастером точек отдаляется друг от друга. Таким образом, любую точку вы можете условно принять за центр расширения, от которой разбегаются все другие. Такое бесконечное число центров расширения, говорит о том, что на поверхности сферы центра расширения нет. Кроме того видно, что и сами точки при расширении поверхности «расползаются». Таким образом, при хаббловском расширении Вселенной расширяется, растягивается само пространство.

Замечательно, что семью годами раньше Э. Хаббла, в 1922 г., наш соотечественник А.А. Фридман, решая уравнения ОТО Эйнштейна и исходя из условия однородности Вселенной, пришел к выводу о возможности изменения границ Вселенной. Они могут как расширяться, так и сужаться, в зависимости от соотношения между средней плотностью Вселенной rср и неким критическим значением плотности rкр = 3H2/8⫪G. Если rкр > rср, то Вселенная открытая и будет все время расширяться. Если же rкр < rср, то Вселенная закрытая, и в какой-то момент расширение сменится сжатием. К настоящему времени мы не можем дать однозначного ответа, какое из неравенств между плотностями rкр и rср осуществляется, так как часть вещества Вселенной находится, по-видимому, в «не излучаемом» состоянии (черные дыры, нейтронные звезды, странная материя). Поэтому на сегодняшний день оценка величин: rкр ≈ 10–29 г/см3 и rср ≈ 10–30 г/см3 – не дает однозначного выбора модели, а значит, и сценария развития Вселенной. Отметим, что этот сценарий определяется через универсальные константы G и Н, поскольку именно от них зависит критическая плотность rкр.

N.B. для физиков и математиков

Наиболее известным вкладом Гильберта в физику является вывод основных уравнений общей теории относительности, проведённый им в ноябре 1915 г. практически одновременно с Эйнштейном. Фактически Гильберт первым получил правильные уравнения поля общей теории относительности, хотя опубликовал их позже. Кроме того, неоспоримо существенное влияние Гильберта на Эйнштейна в период их параллельной работы над выводом этих уравнений (оба находились в этот период в интенсивной переписке).

Независимо от вопроса о приоритете, Гильберт первым использовал при выводе этих уравнений вариационный метод, ставший впоследствии одним из основных в теоретической физике. Очевидно, это был первый в истории физики случай, когда неизвестные до этого уравнения фундаментальной теории были получены таким путём (по крайней мере, если говорить о подтвердившихся теориях).

Представляет интерес также следующий случай: в 1926 г. после создания матричного варианта квантовой механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг решили проконсультироваться у Гильберта, существует ли область математики, в которой применялся бы подобный формализм. Гильберт ответил им, что с похожими матрицами он встречался, когда разбирал вопросы существования решений дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Физикам показалось, что математик их не понял, и они решили не изучать далее этот вопрос. Менее чем через полгода Эрвин Шрёдингер создал волновую квантовую механику, основное уравнение которой – уравнение Шрёдингера, является уравнением второго порядка в частных производных, и доказал эквивалентность обоих подходов: старого матричного и нового волнового.