Жизнь как роспись стенная, тобой создана,

Но картина нелепостей странных полна...

Омар Хайям

Лекция 6. Входим в микромир. Константа планка и волна Де-Бройля. Принцип неопределенности Гейзенберга. Спин.  

Все началось с доклада Макса Планка 14 февраля 1900 г. «Об излучательной способности черного тела», где им впервые была введена константа, определяющая величину минимального действия h = 1,05х10-34  Дж с. В чем же смысл этой фундаментальной величины? Дело в том, что в классической физике такие величины, как, например, импульс – p, энергия – E, действие (есть и такая величина, ее размерность энергия  время), могут принимать любые, сколь угодно малые значения. Однако, как только мы «заходим в микромир», т.е. интересуемся объектами, размеры которых ~ 10-7  см, ситуация в корне меняется. Так, например, действие уже не может быть сколь угодно малым. Равным нулю – пожалуйста, но первое, его самое малое значение оказывается равным именно этой постоянной Планка. Следующее по величине значение действия будет 2h, затем 3h и т.д. В аналогичном положении оказываются и другие физические величины, например, энергия. Таким образом, оказывается, что дискретной является не только материя, но и ряд физических характеристик, описывающих ее.

Так как формула Планка сразу получила экспериментальное подтверждение, то идея дискретности энергии стала приобретать характер закона, что противоречило сложившемуся к началу ХХ века представлению, и поэтому требовало детального анализа. Анри Пуанкаре в 1911 г., проведя математическое исследование этого вопроса, показал, что гипотеза квантов (т.е. точная дискретность энергии резонаторов E = nhν, где ν -частота) – это единственная принципиальная гипотеза, которая приводит к закону Планка. Если же дискретность чуть-чуть нарушена, т.е. n не равно натуральному числу, то не будет и формулы Планка, и вообще целый класс задач по теории излучения просто нельзя решить.

Следующий революционный шаг был сделан французским физиком Луи де Бройлем в 1924 г. Этим потомком знатного французского рода де Брольи было высказано фундаментальное для всей теории микромира соображение. Суть его в том, что любой свободной частице, обладающей импульсом p, можно сопоставить определенную длину волны (де Бройля):

Таким образом, движущиеся частицы (электроны, нейтроны, протоны и даже целые атомы) обладают волновой сущностью и могут давать такие чисто волновые эффекты как дифракция и интерференция. Опираясь на эту плодотворную идею де Бройля, Эвин Шредингер написал волновое уравнение, являющееся фундаментом всей квантовой механики. Характерно, что в результате решения уравнения Э. Шредингера – волновая ψ-функция – интерпретируется как плотность вероятности и не наблюдается явно. Но это теперь никого не смущает, поскольку на эксперименте наблюдается величина ψψ* (квадрат модуля величины ψ). Важно при этом следующее: величина ψψ* дает распределение вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Таким образом, в микромире принципиальной становится не всегда детерминистическая картина описания объектов, а вероятностная. Непосредственным следствием этого становится то, что при описании явлений в микромире у частиц не существует понятия траектории в обычном макроскопическом смысле. Это и есть фактически сформулированный в 1927 г. принцип неопределенности В. Гейзенберга. Согласно этому принципу, изменение импульса Δpx (вдоль оси x) и изменение координаты в этом же направлении Δx не определены с точностью до величины минимального действия – постоянной М. Планка, т.е.

Это означает, что ни координату, ни импульс точно измерить одновременно нельзя, а только с точностью до величины h. Действие этого принципа распространяется и на другие физические величины, которые не могут быть измерены одновременно. Таким образом, говоря, например, об орбитах электронов в атоме, мы должны понимать, что это всего лишь дань истории – планетарной модели атома. На самом же деле электроны, конечно же, не вращаются ни на каких орбитах. Они просто существуют в определенных квантовых состояниях. Да, одни из них чуть ближе локализованы к ядру, другие чуть дальше, но никаких орбит, т.е. фиксированных траекторий, просто нет.

Естественно, может возникнуть вопрос, как же все это объяснить, почему в микромире такая «нелепая» картина, может быть, мы что-то не до конца здесь понимаем? Нет, именно здесь мы все понимаем, и объяснять  собственно ничего не нужно, картина именно такая и не может быть другой в принципе. Почему? Самый простой ответ – «такова природа вещей», как говорил Лукреций Кар, и этой концепцией надо довольствоваться.

Поскольку в квантовом мире положение частицы в пространстве не может быть определено точно, не должно вызывать удивления, что подобная участь постигает и ее ориентацию по отношению к какому-либо направлению. Чем же тогда определяется ориентация в пространстве микромира?

Оказывается, что в квантовой физике каждой частице следует приписывать особый собственный («внутренний») механический момент, не связанный ни с ее перемещением в пространстве, ни с вращением – этот собственный момент называется спином. Так вот именно спин и определяет ориентацию частицы в пространстве. Здесь мы не имеем возможности рассказать, как это делается экспериментально, остановимся поэтому лишь на одном, но весьма показательном факте, определяемом спином такой известной всем частицы, как электрон. Этот факт связан с простым, на первый взгляд, даже тривиальным, понятием вращения.

В нашей повседневной (макроскопической) жизни при повороте вокруг оси на 360° все будет выглядеть в точности таким же, каким было до начала вращения, т.е. мы оказываемся в том же состоянии. Ну а как же с поворотом электрона на 360°? Основываясь на здравом смысле, основанном на макроскопическом опыте, естественно ожидать, что и электрон вернется в исходное состояние. Однако это совершенно не так! Оказывается, из-за спина, чтобы вернуться в исходное состояние электрон надо повернуть еще раз на 360º. 

Таким образом, только при повороте электрона на два полных оборота, т.е. на 720º, он «воспринимает» мир тем же самым, как и до поворота. Следовательно, мы (макроскопические существа) в определенном смысле лишь наполовину воспринимаем мир, доступный электрону, имеющему спин. Рис.1-5 дает простую иллюстрацию к сказанному. На нем изображена двойная проволочная петля с нанизанной на ней бусинкой. Издали мы не можем различить два витка, и нам кажется, что проволока просто свернута в окружность. Поэтому поворот бусинки на один оборот нами воспринимается как то же самое состояние, но на самом деле бусинка «знает», что это вовсе не так. И ей нужно сделать еще один оборот по петле, и только тогда она попадает в то же самое состояние, что и до начала вращения. 

Это странное, на первый взгляд, «двойственное» представление о мире, присущее электрону и другим элементарным частицам (частицам микромира), является фундаментальным свойством природы. Такова опять-таки природа вещей.

Наличие у электрона полуцелого спина, равного ћ/2 , (ћ =h/2π) (, приводит к тому, что для электрона возможны лишь две взаимно противоположные ориентации спина. Отсюда следуют чрезвычайно важные последствия. Приведем только два примера. Так, например, создаваемое спином электрона магнитное поле вдвое больше магнитного поля, создаваемого просто вращающимся заряженным шариком. Второй пример. В одном и том же квантовом состоянии (например, для атома водорода это состояние определяется тремя характерными квантовыми числами: энергетическим, орбитальным и магнитным, принимающими дискретные значения в долях константы ћ) может находиться только один электрон. Это утверждение называется принципом запрета В. Паули. Второй электрон в том же состоянии обязан поменять ориентацию спина на противоположную, т.е. быть равным ћ/2. Именно этот принцип запрета приводит к специфическим закономерностям в заполнении электронами квантовых состояний в атоме, и именно этим обусловливается природа периодичности изменения свойств элементов в таблице Д.И. Менделеева. Отметим, что если бы спин электрона был бы полуцелым, но имеющим другое значение, например, 3ћ/2 или 5ћ/2, то таблица Д.И. Менделеева выглядела бы совершенно иначе, а значит, химия была бы абсолютно другой. В этом случае не очевидно, могла ли возникнуть и существовать жизнь. С другой стороны, если бы спин электрона был бы кратен целому числу ћ, то любое количество электронов находилось бы в одном состоянии, т.е. был бы лишь один тип атомов. Эти атомы не могли бы образовывать молекулы, а значит, не было бы химии, и, как следствие, никакой жизни.

Луи де Брольи́, де Бройль (Broglie или Broglio) – старинная французская аристократическая семья пьемонтского происхождения. Прослеживается до Умбе́рто Броглиа (XIII век) Потомок Умберто в 10-м колене – генерал Франсуа́-Мари́ (1611, Турин – 1656), граф де Брольи – переселился во Францию в 1643 году. Принимал участие в Тридцатилетней войне, погиб при осаде Валанса, посмертно произведён в маршалы Франции. Его сын Викто́р-Мори́с (1646, Турин – 1727) принимал видное участие в войнах Людовика XIV, маршал Франции с 1724 года. Франсуа́-Мари́ (1671, Париж – 1745), сын Виктора-Мориса, с 1689 года принимал доблестное участие во всех походах в Нидерланды, Германию и Италию и получил в 1734 году звание маршала Франции, а в 1742 году – титул 1-го герцога де Брольи. С 1724 года в течение ряда лет служил послом Франции в Лондоне. Был женат на Терезе де Гранвиль (Therese de Granville) из богатой семьи судовладельцев.