От малых причин бывают

великие последствия... 

Козьма Прутков

«…И гений, парадоксов друг,,.»

А.С.Пушкин

Лекция 10. Экскурс в историю открытых систем. Закономерности возникновения диссипативных структур. Универсальный критерий эволюции Гленсдорфа-Пригожина. Язык сложного.

До середины XX века спор между представителем науки, атеистом и представителем религии о «происхождении нового» был бы формально в пользу последнего. Ведь действительно, представитель религии мог констатировать, что в науке есть закон сохранения (Вишну), есть закон возрастания энтропии, т.е. закон смерти (Шива), но нет никакого закона, объясняющего, как может появиться что-то принципиально новое. Честный представитель науки должен был бы с этим согласиться. Но этого мало, вплоть до 70-х годов XX века можно было услышать достаточно «логичную» критику учения Ч. Дарвина. Подсчитывали, что если эволюция видов идет случайно, то на появление человека из простейших организмов просто не хватит времени, так как это больше, чем возраст нашей Земли. Вывод был однозначен – необходимо присутствие Творца, как при этом его называть, не столь уж важно. И, тем не менее, теологи в этом споре были не правы. Во второй половине XX века оформилось учение о возможности появления принципиально нового упорядоченного состояния из хаоса. И это новое спонтанное возникновение когерентных, диссипативных структур из исходного хаотического состояния названо самоорганизацией. Оказалось, что для этого должны выполняться четыре основных необходимых условия: система должна быть открытой, нелинейной и находиться вдали от состояния равновесия, в системе должны быть обратные связи. Чтобы разобраться в этом непростом вопросе, приведем вначале краткую историческую справку о некоторых основных «виновниках» этого глобального для нашего века учения.

Экскурс в историю открытых систем

XIX век. Теория временной эволюции газа в замкнутой системе (Л. Больцман). Теория устойчивости динамических систем (А. Пуанкаре и А.М. Ляпунов). Первый шаг в теории эволюции открытых биологических систем (Ч. Дарвин). Весьма характерно, что, несмотря на достижения в области термодинамики и электромагнетизма, Больцман считал XIX век веком Ч. Дарвина, настолько высоко он оценил принцип биологической эволюции. На чем же был основан такой вывод Л. Больцмана? Дело, видимо, в том, что Л. Больцман был одним из немногих в то время физиков, кто первым понял важность открытия Ч. Дарвина с позиций теории эволюции открытых неравновесных систем. Таким образом, уже на рубеже XX века стало ясно, что развитие теории неравновесных процессов в физических и биологических системах является одной из важнейших задач естествознания.

XX век. Первый шаг в теории неравновесных процессов был сделан А. Эйнштейном, М. Смолуховским и П. Ланжевеном – они создали теорию брауновского движения (английский ботаник Р. Браун впервые в 1827 г. наблюдал это явление). Правда у нас это движение называют – Броуновское. Причина брауновского движения – толчки со стороны молекул жидкости, т.е. это открытая система. (В отечественной литературе это движение часто неправильно называют броуновским).Согласно кинетическому уравнению Л. Больцмана, средняя энергия частиц газа в процессе эволюции сохраняется. Это условие необходимо, чтобы в процессе эволюции к равновесному состоянию энтропия, а с ней и степень хаотичности, возрастали. Отсюда следует утверждение, известное как H-теорема Л. Больцмана, согласно которой энтропия в необратимых процессах не может убывать. Средняя же энергия брауновских частиц в процессе эволюции не сохраняется, и H-теорема Л. Больцмана уже не справедлива. Заметим, что по уравнению Л. Больцмана сохраняется не точное значение энергии, а лишь ее среднее значение. Таким образом, возможны флуктуации энергии, т.е. система Л. Больцмана в принципе тоже открытая.

В XX веке колоссальный вклад в науку об открытых системах внесли также и математики, вначале упомянутые А.М. Ляпунов, А. Пуанкаре, а позднее А.А. Андронов, А.Н. Колмогоров и Н.С. Крылов. В 1957 г. появилась работа А.Н. Колмогорова об энтропии динамических систем, которую можно считать предтечей науки о самоорганизации. В последние годы работами ряда авторов Брюссельской школы и прежде всего нобелевского лауреата И.Р. Пригожина была развита термодинамика сильно неравновесных систем. Цель и задачи нашего курса не позволяют подробно комментировать ни результаты работ основоположников учения, ни перечислять всех ученых, сыгравших роль в его становлении.

Еще раз напомним, что открытые системы обмениваются с окружающими телами энергией, частицами и (или) информацией. В открытых системах возможно образование диссипативных структур. Сложность открытых систем предопределяет существование в них кооперативных (когерентных) движений большого числа частиц, отсюда термин – синергетика, веденный Г. Хакеном. Чтобы понять некоторые достаточно общие закономерности возникновения диссипативных структур в процессе самоорганизации, рассмотрим наиболее наглядный пример.

Закономерности возникновения диссипативных структур.

Ячейки Бенара. Представим себе слой жидкости между двумя горизонтальными параллельными плоскостями, линейные размеры которых значительно превосходят толщину слоя жидкости. Если жидкость изолирована, то на нее не действуют никакие внешние силы (кроме сил гравитации) и не происходит обмена частиц, то она произвольно долго пребывает в состоянии равновесия. Это состояние характеризуется полной макроскопической тождественностью различных частей жидкости вне зависимости от их расположения и расстояния между ними. Поэтому, если не принимать во внимание границы, то жидкость внутри нашего «аквариума» однородна и изотропна, а значит, состояние обладает максимумом симметрии. Если создать в такой системе разность температур между верхней (T1) нижней (T2) поверхностями путем непрерывного подвода тепла, то тем самым мы выведем систему из состояния равновесия. Пока разность температур ∆T = T1 - T2 мала, в системе вследствие теплопроводности установится стационарное состояние, характеризуемое практически линейным изменением температуры, а с ней и плотности, и давления. Однако, как только разность температур превысит некоторое критическое значение ∆T > ∆Tкр, мы увидим, как скачком устанавливается принципиально новое состояние. В жидкости образовались ячейки, называемые ячейками Бенара (рис.1-10). В каждой ячейке происходит конвекционное вращение жидкости, причем, если смотреть вдоль горизонтальной оси, то направление вращения жидкости в двух соседних ячейках последовательно чередуется: то по, то против часовой стрелки (рис. 1-10).

Рис.1- 10. Два изображения конвективных (бенаровских) ячеек. Обратите внимание на противоположные направления вращения в двух соседних ячейках

Таким образом, происходит качественный переход от бесструктурной однородной и изотропной системы к структурированной, т.е. упорядоченной, сопровождающийся нарушением (уменьшением) симметрии пространства (вспомните наш разговор о симметрии в лекции 3, пример 1). Важно, что этот переход не плавный, а осуществляется скачком, причем, при повторении подобного эксперимента принципиально невозможно предсказать направление вращения жидкости в ячейке. Подобная ситуация является существенной особенностью образования диссипативных структур. Иными словами, в процессе самоорганизации система может реагировать на внешнее ограничение различными способами. С точки зрения развитой математиками теории динамических систем, это означает, что при одних и тех же значениях управляющих системой параметров возможно несколько различных решений, их называют бифуркационными. Для иллюстрации рассмотрим простейшую механическую аналогию бифуркации.

Существуют три вида диссипативных структур: пространственные (ячейки Бенара, кольца Сатурна и т.д.), временны́е (автокаталитическая реакция Белоусова – Жаботинского) и пространственно-временные, возникающие в нелинейных химических реакциях, идущих в тонком слое, при наличии локальных флуктуаций концентрации и диффузии реагентов. Природа самоорганизации определяется тем, что вдали от состояния равновесия из-за нелинейности система является неустойчивой (в смысле Ляпунова) и поэтому даже малые флуктуации могут привести к новому состоянию, для которого характерным является совокупное движение большого числа частиц.

Универсальный критерий эволюции Гленсдорфа-Пригожина

Детерминизм, неопределенность и самоорганизация динамических систем.

В процессе борьбы Л. Больцмана с оппонентами он вынужден был прийти к заключению, что необратимость, следующая из второго начала термодинамики, несовместима с обратимыми законами динамики. Таким образом, «скрепя сердце», Л. Больцман сохранил верность динамике и заключил: «Эволюция системы, запрещаемая термодинамикой не невозможна, а всего лишь невероятна». А. Бергсон фактически «закрепил» неудачу Л. Больцмана, считая, что физика обречена на отрицание времени (точнее, стрелы времени), и лишь повторение одного и того же приводит к становлению.

Если для Л. Больцмана подобный результат являлся драмой, то для А. Бергсона он стал отправной точкой его философии для обновления метафизики. Несмотря на различные мотивы оба они сошлись в одном и том же. Как Л. Больцман, так и А. Бергсон были убеждены, что «приговор», вынесенный классической механикой, окончателен. С этого момента (а на самом деле гораздо ранее – со времен И. Ньютона) и фактически до середины XX века все вроде бы подтверждало правоту физика и философа. Ведь на самом деле и теория относительности, и квантовая теория также отрицали «стрелу времени». Все было бы так, но вмешалась математика, а вернее та ее часть, которая называется механикой динамических систем, или просто динамикой. Этому драматическому событию мы обязаны трудами многих ученых первой величины, и в первую очередь работам А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, Ю. Мозера, Я.Г. Синая и др.

Свидетельством революционного изменения представлений о детерминизме механических систем является заявление президента Международного союза теоретической и прикладной механики сэра Д. Лайтхилла, сделанное с опозданием, только в 1986 г. Приведенный ниже отрывок взят из [10].

«Здесь я должен остановиться и снова выступить от имени широкого всемирного братства тех, кто занимается математикой. Мы все глубоко сознаем сегодня, что энтузиазм наших предшественников по поводу великолепных достижений ньютоновской механики побудил их к обобщениям в этой области предсказуемости, в которые до 1960 г. мы все охотно верили, но которые, как мы теперь понимаем, были ложными. Нас не покидает коллективное желание признать свою вину за то, что мы вводили в заблуждение широкие круги образованных людей, распространяя идеи о детерминизме систем, удовлетворяющих законам движения Ньютона, – идеи, которые, как выяснилось после 1960 г., оказались неправильными».

Сделанное признание вызвано экспоненциальным разбеганием траекторий сильно неустойчивых хаотических систем, описываемом положительными показателями Ляпунова. Однако, это еще не все, чем вызвано столь необычное признание. На одном из аспектов данной проблемы, связанных с самоорганизацией, мы сейчас и остановимся.

Основной проблемой в динамике является проблема интегрирования. Поскольку мы располагаем уравнениями движения Ньютона или Гамильтона, то естественно, хотелось бы иметь явные аналитические выражения для переменных, т.е. координат или скоростей, как функций времени. В конце XIX века А. Пуанкаре показал, что не все динамические системы похожи друг на друга, как до него считалось. Оказывается, существуют системы двух типов: интегрируемые и неинтегрируемые. Для первых мы можем исключить взаимодействие и свести задачу к задаче о свободном движении. Для вторых – неинтегрируемых необходимо отказаться от описания в терминах траекторий (т.е. фактически детерминизма) и перейти к вероятностному описанию.

Чтобы понять, что такое интегрируемая система, мы используем самый простой пример, приводимый в каждом учебнике по теоретической механике. Это одномерный гармонический осциллятор. Для него гамильтониан имеет вид:

Р = р2/2m + kr2/2,                                                (23)

где k – некая упругая постоянная, m – масса.

Для данной системы существует, оказывается, так называемое каноническое преобразование, при котором гамильтониан принимает вид:

H = w·J,                                                                    (24)

где J – переменная действия, а w определяется через угловую переменную a следующим образом: a = wt + const. Таким образом, движение выражается теперь в терминах циклических переменных J и a.

Этот результат очень характерен. В новых переменных действие-угол, гамильтониан зависит только от нового импульса – переменной действия. В результате dJ/dt = -∂H/∂a = 0. То есть переменная действия J является инвариантом движения. Аналогичный результат получается для свободной частицы, когда dp/dt = -∂H/∂r = 0. Как видим, в данном случае уравнения У. Гамильтона легко интегрируются, поскольку отсутствует потенциальная энергия.

Возможность исключить потенциальную энергию с помощью канонического преобразования к новым циклическим переменным – это и есть основная характеристика интегрируемых динамических систем в смысле А. Пуанкаре. Значит, для интегрируемых систем после преобразования гамильтониана в соответствующий вид отсутствует член с потенциальной энергией, т.е. фактически исключается взаимодействие между частицами.

До 1889 г. предполагалось (правда, молчаливо), что все динамические системы интегрируемые, а проблемы, связанные с задачей трех и более тел – чисто технические, вычислительные. Однако, А. Пуанкаре в 1889 г. показал, см. [12], что в общем случае невозможно получить каноническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, которое приводило бы к циклическим переменным причем, большинство систем как раз неинтегрируемые.

В чем же смысл столь сильного математического утверждения? Что было бы если бы А. Пуанкаре доказал интегрируемость всех динамических систем?

Это означало бы, что все без исключения динамические системы с любым числом частиц, по-существу, изоморфны движению свободных, не взаимодействующих никак друг с другом частиц. Это означало бы, что эти частицы никогда не могут выступать как коллектив, то есть когерентно! А это значит, что не может быть самоорганизации в принципе! Не может, значит, в интегрируемом мире возникнуть и жизнь!

Однако этого мало. А. Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал причину неинтегрируемости систем. Это существование резонансов между степенями свободы и возникновение проблемы так называемых «малых знаменателей».

Надо сказать, что эта проблема была известна в астрономии и до А. Пуанкаре. Но именно его теорема показала, что основная трудность, связанная с расходимостью (малые знаменатели стремятся к нулю, а обратная им величина стремиться к бесконечности) в решении задач динамики не может быть устранена и делает невозможным введение циклических переменных для большинства динамических систем, начиная с системы трех тел.Вот как эту проблему в свое время оценивал М. Борн: «Было бы весьма странно, если бы Природа укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическими трудностями проблемы многих тел».

С появлением работ А.Н. Колмогорова, продолженных В.И. Арнольдом и Ю.Мозером и появлением КАМ теории (Колмогорова – Арнольда – Мозера), проблема неинтегрируемости и малых знаменателей стала рассматриваться как отправная точка нового развития динамики, и в том числе динамики как когерентных движений, так и хаотических.

КАМ теория рассматривает влияние резонансов на траектории. В разных точках фазового пространства динамической системы существуют резонансы, в других их нет. Резонансы соответствуют рациональным соотношениям между частотами. Поскольку (это классический результат теории чисел) мера рациональных чисел по сравнению с мерой иррациональных чисел равна нулю, то резонансы встречаются крайне редко, большинство точек в фазовом пространстве нерезонансные. Резонансы приводят к периодическим движениям, отсутствие резонансов – к квазипериодическому движению. Следовательно, периодические движения, как правило, исключение из общего случая движений более сложного вида.

Основной результат КАМ теории состоит в том, что существует два принципиально различных типа траекторий. Первые – слегка изменившиеся квазипериодические траектории. Вторые – стохастические траектории, возникающие при разрушении резонансов. КАМ теория не приводит к динамической теории хаоса, но она показывает, что при малых значениях некоторого параметра получается промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярные и стохастические.

Если теперь обратиться к И.Р. Пригожину, то, как уже было отмечено ранее, из хаотического состояния возможно появление регулярной структуры, то есть возникает самоорганизация.

Остановимся еще на одной важной проблеме. Хорошо известно, что в области естественных наук наиболее фундаментальные открытия совершаются неожиданно. В начале нашего курса мы уже обсуждали, что в ряде случаев происходит научный поиск некого «А», а в результате находят совершенно неожиданное – «В». Чем неожиданней это «В», тем более значим новый результат. В области математических открытий все обстоит аналогичным образом. В качестве примера приведем с некоторыми купюрами отрывок из статьи В.И. Арнольда, посвященной А.Н. Колмогорову [13].

«Андрей Николаевич заметил, что в «интегрируемых» задачах надлежащим образом определение фазы на торе меняется со временем равномерно. Он же поставил себе вопрос: так ли это, если система на торе не интегрируема, а лишь имеет интегральный инвариант? Этот вопрос он решил в работе 1953 г. о системах на торе – первой, где появляются малые знаменатели. Вывод А.Н. таков: почти всегда можно ввести равномерно меняющиеся со временем фазы, но иногда возможно перемешивание. Замечание о перемешивании, относящееся к патологическому случаю, не кажется особенно важным. Но именно оно-то («благодаря») и стало источником знаменитой работы А.Н. Колмогорова о малых знаменателях, опубликованной в 1954 г., где доказано сохранение инвариантных торов при малом изменении функции Гамильтона.Рассуждения А.Н. Колмогорова, упомянутые им в докладе на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г., состояли в следующем. В интегрируемых системах движение по инвариантным торам всегда условно-периодично. Следовательно, перемешивание в интегрируемых системах не встречается (а значит, не может быть никакой самоорганизации). Чтобы узнать, имеет ли открытое им явление механические приложения, А.Н. Колмогоров решил отыскать движение по торам в неинтегрируемых системах, где в принципе перемешивание могло бы наблюдаться. Естественно начать с теории возмущений, рассмотрев систему, близкую к интегрируемой. Различные варианты теории возмущений многократно обсуждались в небесной механике, а потом в ранней квантовой механике. Но все эти теории возмущений приводят к расходящимся рядам. А.Н. Колмогоров понял, что расходимость можно преодолеть, если вместо разложений по степеням малого параметра использовать метод Ньютона в функциональном пространстве. Таким образом, «метод ускоренной сходимости» А.Н. Колмогорова был придуман вовсе не ради (но «вопреки») тех замечательных приложений в классических проблемах механики, к которым он приводит, а ради исследования возможности реализации специальной теоретико-множественной патологии в системах на двумерном торе.

Поставленную им себе задачу о реализации перемешивания на слабо возмущенных инвариантных торах А.Н. Колмогоров при этом не решил («А» не найдено), так как на найденных им торах его метод автоматически строит равномерно меняющиеся при движении фазовой точки угловые координаты. Вопрос о перемешивании, из которого выросла вся работа ученого, остается нерешенным и сегодня. Значение этого технического вопроса (поиск «А») по сравнению с полученными результатами (найдено неизвестное «В») ничтожно. Сейчас о нем уже никто и не вспоминает, но новая математика возникла при уточнении мелких технических деталей предшествующих работ. Уже из этого ясно, что планирование фундаментальных исследований – бюрократическая бессмыслица, а зачастую – просто обман».

Язык сложного.

1. Флуктуации. Аддитивные и неаддитивные величины

Статистическая система, находящаяся в равновесии, описывается некоторым законом распределения случайных величин. Наиболее часто в физических системах (но и не только в них) реализуется так называемый нормальный закон распределения (закон Гаусса). Причина этого состоит в следующем. Оказывается, что если значения, которые принимает случайная величина, зависят от большого числа различных факторов М, каждый из которых в отдельности мало влияет на эту величину, а ее существенное изменение возможно, когда одновременно меняется большое число параметров K ≤ M, то рассматриваемая величина подчиняется нормальному закону распределения. Это утверждение представляет собой частный случай центральной предельной теоремы А.М. Ляпунова, доказываемой в теории вероятностей.

Итак, если вероятность обнаружить систему в интервале (ξ, ξ + dξ) задается распределением Гауcса:

W(ξ)dξ = (λ/2π)1/2exp(– λξ2/2)dξ,                                                   (26)

то дисперсия вероятности ξ:

<(Δξ)2> = (λ/2π)1/2∫ exp(– λξ2/2)dξ.                                                (27)

Таким образом, вероятность W(ξ) можно записать через дисперсию в виде:

W(ξ) ~ exp(–ξ2/2<(Δξ)2>).                                           (28)

Внутренние параметры ТД системы разделяют на аддитивные (экстенсивные) и неаддитивные (интенсивные). Параметры, зависящие от числа частиц в системе N (энергия, энтропия, объем), естественно, аддитивные. Параметры, не зависящие от числа частиц в системе (давление, температура), естественно, неаддитивные. Можно показать, что для гауссового распределения для аддитивной величины ξ дисперсия:

<(Δξ)2> ~ N, а относительная флуктуация δξ ~ 1/√N.                            (29)

Для неаддитивной

<(Δξ)2> ~ 1/N, а относительная флуктуация Δξ ~ 1/√N .                       (30)

Система может отклоняться от своего стандартного состояния Х четырьмя различными способами.

1. Отклонение от стандартного состояния остается ограниченным на любом промежутке времени. В математике этот случай соответствует устойчивости по Ляпунову и, если ввести понятие фазового пространства (пространства состояний) системы, то устойчивое состояние по Ляпунову будет соответствовать орбитальной устойчивости в фазовом пространстве.

2. Состояние системы стремится к стандартному состоянию по мере стремления времени к бесконечности. Это асимптотическая устойчивость. В терминах фазового пространства этому случаю соответствует асимптотическая орбитальная устойчивость. Такое состояние обязательно подразумевает необратимость, т.е. оно не применимо к консервативным системам. Диссипативные системы устойчивы к возмущениям, действующим на них, что обеспечивает воспроизводимость режима, называемого аттрактором, о котором мы говорили выше.

3. Состояние системы не остается в окрестности стандартного состояния. Про это состояние говорят, что оно неустойчиво. В фазовом пространстве такому состоянию соответствует случай орбитальной неустойчивости. Неустойчивые состояния могут быть как в консервативных, так и в диссипативных системах.

4. Состояние системы остается в некоторой окрестности стандартного состояния, если возмущение не превышает некоторой величины. Это состояние называется локально устойчивым. Однако глобальной устойчивости системы, соответствующей глобальному аттрактору в фазовом пространстве, в этом случае нет.

2. Фракталы, или странные аттракторы

Помимо упомянутых выше способов реагирования системы на внешние возмущения существует еще одна возможность, приводящая к принципиально иному характеру поведения системы – переходу к хаосу. Обычный аттрактор (неподвижные точки или предельные циклы), представляющий собой некоторое множество точек в фазовом пространстве, отражает стремление системы к упорядоченному, предсказуемому движению. Существенно, что при этом размерность аттрактора обязательно меньше размерности фазового пространства, поскольку это множество остается неизменным в процессе движения. Обычные аттракторы в 3-мерном фазовом пространстве имеют размерность ноль (неподвижная точка, единицу (линия), двойку (поверхность). В математике известны, однако, объекты с размерностями, промежуточными между точкой и линией, между линией и поверхностью, между поверхностью и объемом. Такие множества названы множествами Мандельброта, или фракталами.

Приведем наиболее простой из таких примеров фрактала – так называемое множество Кантора. Рассмотрим отрезок [0, 1] на числовой оси. Разобьем этот отрезок на три равные части и выбросим среднюю. После этого оставшиеся отрезки вновь разделим на три равные части и выбросим средние. Неограниченно продолжим эту процедуру. Длина всех выброшенных частей составляет бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 2/3, а начальный элемент имеет длину 1/3. В итоге длина всех выброшенных частей равна 1. Однако в исходном отрезке сохранилось бесконечно много точек, например, 0, 1, ¼ и т.д. Но это множество точек не имеет собственной длины, но имеет топологическую размерность 0, и является нигде не плотным совершенным множеством, но оно континуально. Однако размерность такого множества не равна нулю.

Для того, чтобы найти размерность этого множества, обратимся к соотношению, определяющему размерность d всех известных «топологических» многообразий:

d = lim (lnNɛ)/ln(1/ε) при ε → 0,                                            (31)

где ε – длина отрезка, составляющая минимальный «объем» множества, а Nɛ – минимальное число элементарных объемов, необходимое для полного покрытия данного множества.

Поясним работу этой формулы примером. Для того чтобы закрыть квадрат со

стороной 1, нужно (1/ε)2 квадратов со стороной ε. Таким образом, имеем

d = [ln(1/ε)2 / ln(1/ε)] = 2, что собственно заранее и предполагалось.

В случае множества Кантора имеем:

d = ln2n/ln3n =ln2/ln3 ≈ 0,63,                                              (32)

то есть множество Кантора имеет промежуточную размерность между точкой (d = 0) и линией (d = 1).

Подобного рода множества – фракталы, или странные аттракторы, реализуют хаотическое поведение системы, когда в ее поведении отсутствует всякого рода детерминизм и упорядоченность, и можно говорить о вероятностном описании.