О, сколько нам открытий чудных

Готовят просвещенья дух,

А.С.Пушкин

Лекция 11. Критерий относительной упорядоченности живых систем. Мягкие и жесткие математические модели. Основные закономерности перестроек. Опасность многоступенчатого управления.

Поскольку мы выяснили основные закономерности самоорганизации в открытых системах, представляет интерес сразу же рассмотреть их особенности для живых организмов, имея в виду их эволюцию. Дадим вначале предельно общее определение этого понятия. Под эволюцией будем понимать процесс изменения, развития в природе и обществе. В физических замкнутых (изолированных) системах, как мы уже обсуждали, эволюция приводит к равновесному состоянию с максимумом энтропии и максимальной степенью хаотичности («смерть»). В открытых системах можно выделить два класса эволюционных процессов.

Критерий относительной упорядоченности живых систем.

1. Временна́я эволюция к неравновесному стационарному состоянию.

2. Процесс эволюции через последовательность неравновесных стационарных состояний, что происходит благодаря изменению управляющих параметров.

В принципе мы должны понимать, что самоорганизация и деградация – два возможных варианта эволюции, и чтобы их различать, необходимо ввести новый термин – «норма хаотичности». Отклонение от нее («нормы») в ту или иную сторону, пользуясь медицинским языком, можно трактовать как «болезнь», т.е. деградацию, а значит, восстановление к исходному состоянию – это «лечение», т.е. самоорганизация.

Функционирование организма возможно лишь при некоторой норме хаотичности, которая отвечает существенно неравновесному состоянию, но точки отсчета от равновесного состояния (как, например, в простой физической системе) здесь не существует. Поэтому в биологии, экономике и социологии объективная информация об изменении степени хаотичности еще недостаточна, чтобы делать вывод о наличии процесса самоорганизации или деградации. Здесь и уместно пользоваться терминами «норма хаотичности» и «лечение».

Интересно отметить, что первые сведения об обсуждении эволюционных процессов можно найти еще у Платона. С тех пор, в той или иной мере эта проблема поднималась различными учеными. По нашим современным представлениям, для ее понимания требуется знать еще ряд терминов.

«Динамический хаос» – это состояние, которое означает, что в системе отсутствуют источники флуктуаций, источники беспорядка. В этом его отличие от «физического хаоса».

Существуют два класса нелинейных систем – динамические и стохастические (статистические). В основе классификации лежит свойство воспроизводимости движения по заданным начальным условиям. В динамических системах реализуются воспроизводимые движения, а в стохастических – невоспроизводимые (диссипативные). 

Тем не менее, даже если нет случайных источников, и процесс формально воспроизводим, т.е. движение динамическое, оно может быть столь сложным, что результат оказывается фактически непредсказуемым. Особенностью динамического хаоса является динамическая неустойчивость движения, которая выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий. Даже в сравнительно простых динамических системах существуют чрезвычайно сложные движения, которые воспринимаются как хаотические (из-за невозможности предсказания результата). Математическое описание подобного сложного состояния приводит к понятию «странный аттрактор».

Динамическая неустойчивость может играть в открытых системах важную конструктивную роль. Приведем примеры, взятые нами с небольшими изменениями из статьи Ю.Л. Климонтовича[14].

Начнем с иллюстративного примера из социологии. Пусть некая международная конференция подошла к концу. Это начальное состояние для ее участников. Рассмотрим два возможных варианта их движения.

1. Участники и после ее окончания перемещаются вместе, не удаляясь друг от друга на значительное расстояние. Например, общий поезд из Кембриджа, где проходила конференция, в Лондон.

2. Участники разъезжаются порознь, кто куда – «экспоненциально разбегаясь». Иными словами, движение становится «динамически неустойчивым».

Возникает вопрос. Какой из этих двух вариантов движения способствует в большей мере использованию полученной на конференции новой информации? Первый вариант полезен в определенной мере, так как позволяет продолжить дальнейшее обсуждение вопросов конференции. Но, ясно, что именно второй вариант, когда имеет место «перемешивание траекторий» в большей мере способствует прогрессу науки. В этом случае участники быстрее передают информацию в различные места и разным слушателям. Этот пример демонстрирует, что динамическая неустойчивость и перемешивание могут и не привести к хаосу, а играть позитивную конструктивную роль.

Примеры из медицины приведем лишь в виде констатации результатов. Рассмотрим отклик живого организма на стресс. У женских (в основном) особей степень хаотичности увеличилась (степень порядка уменьшилась), у мужских (в основном) особей степень хаотичности уменьшилась (т.е. произошла некоторая упорядоченность). Возврат в исходное состояние, к «норме хаотичности», подразумевает «лечение». Для женщин это лечение сопровождается уменьшением хаотичности (т.е. имеет место процесс самоорганизации), а у мужчин – возрастанием хаотичности (т.е. фактически происходит деградация). Таким образом, оказывается, что для живого организма смысл понятий самоорганизация и деградация не имеет однозначной связи, соответственно, с увеличением (при самоорганизации) или, напротив, уменьшением (при деградации) степени упорядоченности.

Оказывается, что всего существует три типа «больных». Первый тип (мужской) – уменьшение степени хаотичности (избыточная упорядоченность), второй тип (женский) – не слишком большое увеличение степени хаотичности. Третий тип (суперженский) – значительное увеличение степени хаотичности. Вспомните, многие женщины от стресса впадают в истерику, для мужчин это крайне редко.

«Мягкие» и «жесткие» математические модели.

Этот раздел является упрощенной и краткой «выжимкой» из брошюры, изданной к Всероссийской конференции «Математики и общество. Математическое образование на рубеже веков» [15] и представляет собой текст доклада, прочитанного академиком В.И. Арнольдом в 1997 г. на семинаре при Президентском совете РФ. В докладе рассказано о применениях теории дифференциальных уравнений в таких науках, как экология, экономика и социология.

Примером жесткой модели является таблица умножения. Простейший пример мягкой модели – принцип «чем дальше в лес, тем больше дров». Возможность полезной математической теории мягких моделей открыта относительно недавно. Далее на простейших примерах будет показано, как эта теория может применяться в экономических, экологических и социологических моделях.

Основные закономерности перестроек

Перейдем теперь к еще одному очень важному разделу, формирующему в определенном смысле «нелинейное» мышление, так необходимое исследователям (да и не только им) в наше время. Примерно с 1970 г. в печати появились сведения о создании новой области математики, сопоставимой (как считали сами авторы) лишь изобретениям Ньютона, дифференциального и интегрального исчисления. Подобные прогнозы, конечно, оказались слишком преувеличены. Эта новая математика, названная теорией катастроф, возникла как симбиоз двух различных разделов математики: теории гладких отображений Х. Уитни и теории бифуркаций динамических систем А. Пуанкаре и А.А. Андронова. Под термином «катастрофы» понимают скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного отклика системы на плавное изменение внешних условий. В теории катастроф численно решаются различные задачи: от эмбриологии до экономики, и от геометрической и физической оптики до геологии. Существенно, что поскольку решения всегда численные, то нельзя сформулировать какие-либо общие закономерности катастроф. Однако частным случаем теории катастроф является теория перестроек, которая была создана задолго до нашей перестройки 1985 г. Вот в этой-то науке оказывается возможным сделать ряд важнейших качественных выводов, одинаковых для любой нелинейной системы.

Считается, что система находится в устойчивом состоянии, условно признанном «плохим», так как в пределах «видимости» существует более предпочтительное, «лучшее» состояние. Рассмотрим вначале ситуацию перестройки с точки зрения «домохозяйки». Как вы увидите, это не такой уж и плохой уровень.

Предположим, что наша домохозяйка решила сделать уборку квартиры. Ей кажется, что состояние квартиры плохое (ясно, что это достаточно условное понятие, другой бы еще и месяц не убирал). Итак, уборка начинается, все двигается, что-то переворачивается, короче, по сравнению с первоначальным плохим состоянием, оно вначале еще сильнее ухудшается, но постепенно пыль вытерта, полы вымыты, все расставлено на свои места, и состояние стало лучше, чем было до уборки. Через некоторое время наша домохозяйка решила переклеить в комнате обои. Ну не нравятся ей старые и все тут. Что происходит при этом? Старые отрываются, везде пыль, беспорядок, т.е. состояние ухудшилось гораздо сильнее, чем при обычной уборке. Но, в конце концов, обои переклеены и, естественно, состояние гораздо лучше, чем было после обычной уборки. Что же общего в этих примерах? Любая домохозяйка понимает эти два очевидных результата. Во-первых, если хочешь путем «перестройки» улучшить состояние, то с неизбежностью сначала должен попасть в худшее состояние. Во-вторых, степень ожидаемого улучшения состояния сопоставима с предварительным ухудшением. Ну вот, пожалуй, и все, что может предсказать разумная домохозяйка о закономерностях перестроек. Чтобы узнать эти закономерности подробнее, надо уже обратиться к науке.

Рассмотрим ситуацию, когда под «плохим» состоянием мы понимаем либо «административную систему», либо «болезнь человека», а под «хорошим» состоянием – соответственно «рыночную экономику» и «состояние здоровья в норме».

И государство, и человек – типичные нелинейные системы с обратными связями. Это существенно, ибо управление без обратных связей всегда приводит систему к катастрофе. Под обратными связями в общем случае понимается следующее. Пусть есть какая-либо система, имеющая вход и выход. На выходе системы есть сигнал (совершенно неважно как он возник). Если есть устройство, которое сигнал с выхода системы передает на вход, то это устройство и есть обратная связь. Если сигнал обратной связью передается в том же виде, каким он был на выходе, то это положительная обратная связь; если обратная связь переворачивает сигнал – это отрицательная обратная связь. В ряде случаев достаточно уничтожить лишь одну обратную связь, и система устремляется к катастрофе. Человек, как государство – это достаточно сложные системы с переменными обратными связями.

Вернемся к нашей ситуации. На рис.1- 12 по оси Y отложены – для государства «благосостояние граждан», для человека «состояние здоровья», а по оси X, соответственно, «предприимчивость граждан» и «самоподдерживающиеся колебания СФРЕ». Здесь мы не имеем возможности конкретизировать, что такое структурно-функциональные рабочие единицы (СФРЕ). Можно посмотреть их определение в части IV нашей книги «Концепции современного естествознания». На графике пунктиром изображена линия катастрофы (смерти для человека).

Итак, закономерности следующие. Цитируем по книге [16].

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сначала приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния возрастает.

3. Максимум сопротивления обязательно предшествует самому плохому состоянию, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, полностью исчезает, и система сама втягивается в лучшее состояние.

5. Величина ухудшения, необходимая для перехода в лучшее состояние, сравнима с итоговым улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как сильно развитая система в силу своей устойчивости на постепенное непрерывное улучшение не способна.

6. Если систему удается сразу, скачком, перебросить из плохого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама будет эволюционировать в нужном направлении.

С этими объективными закономерностями функционирования нелинейной системы нельзя не считаться. Так, например, выбор «лечения» должен быть таким, чтобы максимальное ухудшение не пересекало линию «смерти», при пересечении которой перестройка прерывается, и система устремляется к катастрофе. При кардинальных изменениях в экономике страны, заговоры, путчи и прочие неприятности для правителя возможны раньше самого плохого состояния, в максимуме сопротивления. В самом же плохом состоянии опасности уже нет, всем настолько плохо, что не только не бунтуют, но даже и не плачут, а смеются (согласно историческому анекдоту о Чингисхане).

Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы, но они представляются не только более важными, но и более надежными (чем любые количественные для конкретной модели), ибо мало зависят от деталей функционирования системы.

Опасность многоступенчатого управления.

В этом пункте мы сохраним оригинальный текст (курсивом) Владимира Игоревича Арнольда [15].

Кратко остановимся на явлении хорошо известном в теории управления техническими системами. Оно наблюдается в достаточно общих ситуациях, но будет описана самая простая модель.

Шаг первый управления. Производство какого-либо продукта x управляется некоторым руководителем №1, который принимает решение о количестве выпускаемого продукта и  скорости его производства:

x’ = y.

Шаг второй управления. Поведение руководителя №1 у в свою очередь управляется руководителем второго ранга - №2, принимающим решение о том, как нужно менять количество продукта и скорость производства:

y’ = z.

В свою очередь, поведение руководителя второго ранга №2 z управляется руководителем третьего ранга - №3 и т.д. вплоть до генерального руководителя (ранга n).

Самый главный руководитель в данной модели реализует обратную связь. Он никому не подчиняется. Его решение основано не на желании выполнить приказ начальства (как у руководителей предыдущих рангов), а на других интересах, может быть и интересах дела. Предположим, что он хочет достичь уровня X величины x и будет влиять на руководителя предыдущего ранга в соответствующую положительную сторону, если уровень x не превзойден, и в отрицательную – если он не достигнут.

Тогда, для n = 3 простейшая модель  имеет вид

x’ = y,

y’ = z

z’ = – k(x – X).

Эту систему легко переписать в виде линейного дифференциального уравнения порядка n:

x(n) = – k(x – X).

Это жесткая модель и уравнение легко решаются в явном виде. Устойчивость же стационарного состояния (x = X, y = z = ... = 0) определяется тем, отрицательны ли вещественные части корней A характеристического уравнения:

λn = – k.

 Корни – комплексные числа и изображены на рис. 1-13. Эти корни образуют на плоскости комплексного переменного λ вершины правильного n-угольника. Если n > 3, некоторые вершины обязательно лежат в (неустойчивой) правой полуплоскости (Re(λ) > 0).

При n = 1 корень λ = – k лежит в устойчивой полуплоскости, а при n = 2 корни λ1,2=±j√k. лежат на границе устойчивости.

Таким образом, многоступенчатое управление, при n > 3, неустойчиво. Двухступенчатое управление приводит к периодическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания колебаний. Устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление, при котором упраляющее лицо более заинтересовано в интересах дела, чем в поощрении со стороны начальства.

Эти выводы, сделанные выше на основании анализа простейшей жесткой модели, на самом деле выдерживают проверку на структурную устойчивость, исключая лишь случай n = 2: двухступенчатое управление может оказаться как устойчивым, так и неустойчивым, в зависимости от деталей организации дела, которыми мы выше пренебрегли при составлении нашей самой простой модели. 

Длительное и, по-видимому, устойчивое функционирование системы многоступенчатого управления в СССР объяснялось, вероятно, неисполнением директивных указаний и существованием «теневой» системы заинтересовывания управляющих различных рангов в интересах дела. Без такой реальной заинтересованности (которая в современных условиях уже не обязательно обеспечивается коррупцией) многоступенчатое управление всегда ведет к разрухе.

Ранее, в Посвящении мы привели фото выпуска 1964г ФМШ -18 при МГУ (теперь им.А.Н Колмогорова). Где в центре молодые Владимир Арнольд и Андрей Зализняк.

Награды: 

1957 – премия Московского математического общества.

1965 – Ленинская премия (вместе с академиком А.Н. Колмогоровым) за цикл работ по проблеме устойчивости гамильтоновых систем.

1982 – премия Крафорда от Шведской королевской академии наук (совместно с Луисом Ниренбергом).

1992 – премия имени Н.И. Лобачевского РАН.

1994 – премия Харви (Harvey Prize), Технион (Хайфа).

1999 – орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени за большой вклад в развитие отечественной науки, подготовку высококвалифицированных кадров и в связи с 275-летием Российской академии наук.

2001 – премия Вольфа (Wolf Prize) по математике.

2001 – премия Дэнни Хайнемана в области математической физики.

2007 – Государственная премия России за выдающийся вклад в развитие математики.

2007 – Чернский приглашённый профессор.

2008 – премия Шао за обширный и важный вклад в математическую физику (совместно с Л.Д. Фаддеевым). 

В 1992 году сделал пленарный доклад на Европейском математическом конгрессе.

Звания: 

Академик Российской академии наук.

Профессор Московского государственного университета.

Иностранный член Национальной академии наук США, Французской академии наук, Лондонского королевского общества, Национальной академии деи Линчеи, почётный член Лондонского математического общества, иностранный член Американского философского общества, а также Американской академии искусств и наук.

Почётный доктор университетов Пьера и Марии Кюри (Париж, 1979), Уорика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Комплутенсе (Мадрид).

Президент Московского математического общества (с 1996 года).

Член редколлегии журнала «Успехи математических наук».

В 1995–1998 гг. занимал должность вице-президента Международного математического союза, в 1999–2002 являлся членом его исполнительного комитета.

Председатель попечительского совета Независимого Московского университета.

Главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Профессор Университета Париж–Дофин.