Невозмутимый строй во всем,

Созвучье полное в природе,

Лишь в нашей призрачной свободе,

Разлад мы с нею сознаем. 

Ф.И. Тютчев

Лекция 3. Законы сохранения как следствие симметрийных свойств пространства и времени 

В этой и двух последующих лекциях мы продемонстрируем «работу» второй аксиомы на ряде очень важных концептуальных примеров.

Остановимся вначале на двух понятиях: однородность и изотропность. Определим их по отношению к пространству.

1. Пространство называется однородным, если свойства его не меняются при любом параллельном переносе.

2. Пространство называется изотропным, если свойства его не меняются при любом повороте вокруг заданной оси. 

Таким образом, отличие двух определений заключается в существенно разном наблюдении над пространством. В первом случае надо двигаться трансляционным путем, во втором необходимо поворачивать траекторию наблюдения. Заметим здесь же, что однородное и изотропное пространство обладает максимально возможной симметрией.

Представим теперь, что мы запускаем в пустыню двух агентов, муравья и верблюда. Пустыня для определенности вся состоит из песка, т.е. это что-то типа Сахары, на худой конец подойдет и Иудейская, хотя в ней и мало песка. Какую же информацию об однородности и изотропности дадут нам два наших агента?

Муравей, проползав параллельными курсами и ощущая своими маленькими ножками разные размеры песчинок, доложит, что пустыня неоднородная, но поскольку видит он на небольшое расстояние, сравнимое с его размерами, он повсюду видит одинаковую плотность песка, поэтому утверждает что она изотропная.

Верблюд своими большими ногами не чувствует размера песчинок, поэтому считает что пустыня однородна, но он видит достаточно далеко, на расстояние, значительно большее его размеров, поэтому, повертев головой с одной стороны видит бархан, с другой – его нет, и поэтому докладывает нам, что пустыня не изотропна. Таким образом, два наших агента (каждый из которых по условиям задачи абсолютно правдив) представили нам совершенно противоположную информацию. 

Приведем физический пример. Если осветить кристалл (аналог пустыни) видимым светом (аналог верблюда), то он не «почувствует» структуру кристалла, и среда по отношению к нему будет однородной. Однако свет, распространяясь по разным направлениям, «почувствует» неизотропность кристалла. Если же осветить тот же самый кристалл рентгеновским излучением, длина волны которого сопоставима с размером атомов (аналог муравья), то оно «почувствует» неоднородность среды. Но на больших расстояниях кристалл для рентгеновского излучения изотропен. Эти примеры приводят нас к достаточно общему положению.

Любую информацию мы получаем «с точностью до агента».

На самом деле даже не столь уж важно, «правдив» агент или нет; принцип остается в силе. Агентами могут быть любые источники информации, начиная от людей и рукописей, до приборов, участвующих в эксперименте. Возникает вопрос, а есть ли объективные агенты? Если есть, то кто или что это? Поскольку дело касается научных данных, то на поставленный вопрос можно ответить утвердительно. Такие «агенты» существуют, и это законы природы. Именно они являются объективными агентами.

Данное утверждение проще всего выяснить следующим образом.

Давайте вспомним, сколько исходных положений (примем их за аксиомы), т.е. физических законов, нам нужно знать, чтобы решать школьные задачи по механике. Во-первых, это три закона Ньютона, во-вторых, три закона сохранения: закон сохранения механической энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения энергии – суммарная величина потенциальной и кинетической энергии есть константа, т.е. сохраняется E = mgh + mv22. Закон сохранения импульса – сохраняется величина P = mv = const. Закон сохранения момента импульса – сохраняется величина L = [rP] = const. (L – это векторное произведение двух векторов r и P).

Таким образом, при таком подходе в ньютоновском формализме всего шесть исходных положений – аксиом. 

Существуют другие формализмы механики, например, формализм Ж. Лагранжа. В нем исходными являются всего две аксиомы.

Здесь мы специально не останавливаемся на их формулировке, так же как не приводим уравнений Лагранжа и вывода из них законов Ньютона и законов сохранения, поскольку это потребовало бы от нас чрезмерно математизировать изложение.

Приняв за основу всего лишь две аксиомы Лагранжа (вместо шести в ньютоновском формализме), мы, согласно аксиоме 2, должны получить либо принципиально более правильное представление, либо нечто совершенно новое в награду за использование меньшего количества «сущностей». Действительно, в формализме Лагранжа путем соответствующих математических преобразований можно получить не только законы Ньютона, но (и именно это и важно для нас) все три закона сохранения. Причем каждый из законов сохранения теперь является не аксиомой (как в формализме Ньютона), а следствием тех или иных свойств времени или пространства, а если точнее, то следствием той или иной симметрии времени и пространства. Конкретно: закон сохранения энергии есть следствие однородности времени, закон сохранения импульса – следствие однородности пространства, закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства. Указанные три закона сохранения как раз и являются теми объективными «агентами», которые отвечают на вопросы об однородности или неоднородности времени и пространства и об изотропности последнего. То есть там, где закон сохранения механической энергии выполняется время течет однородно. Аналогично и относительно однородности пространства. Сохранение импульса – гарантия однородности, а момента импульса – изотропности пространства.

Таким образом, на примере перехода от формализма механики Ньютона к формализму Лагранжа, мы убедились, что использование меньшего количества сущностей привело нас к новым знаниям. Кроме того, даже на таком простейшем примере мы убедились, что свойства симметрии чрезвычайно важны для «осуществления» законов природы и, в частности, для сохранения тех или иных физических величин. В дальнейшем мы каждый раз специально будем останавливаться на том, что происходит с симметрией при осуществлении того или иного закона, ибо симметрия – это тоже своеобразный язык природы.

Следует пояснить хотя бы качественно понятие симметрии. В том случае, когда состояние системы (это может быть материальный объект, процесс или уравнение) не меняется в результате какого-либо преобразования, которому она может быть подвергнута, говорят, что система обладает симметрией относительно данного преобразования. В нашем кратком курсе мы не можем более подробно характеризовать различные виды симметрии, приведем лишь несколько примеров, важных для дальнейшего изложения.

Первый пример. Мы интуитивно понимаем, что неоднородное пространство обладает более низкой симметрией по сравнению с однородным. Аналогично переход от изотропного пространства к неизотропному также сопровождается понижением симметрии.

Второй пример. Мы должны договориться, что хаотическое состояние, обладающее минимальным порядком, обладает более высокой симметрией, нежели упорядоченное.

Действительно, представьте себе сосуд, разделенный подвижной перегородкой. В одной части сосуда какой-то газ. Резко вытаскиваем перегородку. В первый момент времени наша система упорядочена. В одной части газ, в другой – его нет. По прошествии времени газ распространяется на весь сосуд. Это второе состояние полностью неупорядоченное, максимально хаотическое и обладает более высокой симметрией по сравнению с первоначальным.

Третий пример. Есть две системы, в одной поровну винты с левой и правой резьбой, во второй системе, например, только с левой. Какая из систем обладает более высокой симметрией? Ответить легко, если представить мысленно, что у нас есть еще и третья система, в которой только правосторонние винтики. Тогда ясно, что первая система, в которой и тех, и других поровну, более высокосимметрична, чем каждая из двух других. Представленные примеры в дальнейшем будут нам очень нужны для объяснения чрезвычайно важных закономерностей.